신, 수학 및 심리학
수학은 패턴을 축소 가능한 부분으로 변환합니다. 이러한 부분은 논리에 부합하지만 논리를 넘어서 작동하는 정식 증명 체인을 기반으로하는 정리 – 증분 추론을 형성합니다. 수학자들은 이러한 패턴이 보편적이고 실제적이며 환원 가능한 부분의 상호 연결 시스템이 수학을 구성하는 것, 즉 공간적 위치, 기하학, 수, 부피, 이동 및 패턴의 언어라고 주장합니다. 이들은 복잡한 정리로 이어지는 복잡한 패턴입니다.
때로는 이러한 패턴이 실제로 존재하며 우주에서의 물리적 사건을 예측하는 데 유용 할 수 있습니다. 다른 경우에는인지 적 세계의 완벽한 구현체 인 반면, 완벽한 원과 같은 우리의 상상력에 주로 존재하는 진정한 형태입니다. 때로는 정리는 전적으로 – 우리가 아는 한, 또는 아직 수학자들의 상상력 그룹의 영역에있는 패턴과 관련이 있습니다. 비록 수학이 수학자들에 의해 우리의 현실을 설명하기 위해 준비되지는 않았지만, 증명은 육체적 경험 세계 안에서 올 수 있다는 점에서 공생 관계가 있습니다.
수학을 단순히 복잡한 시스템을 만드는 것 이상의 가치를 높이기위한 기초는 Pythagoras (기원전 6 세기)에 의해 주어진 수학의 역할입니다. 피타고라스는 숫자가 진리로가는 길 일뿐만 아니라 진리 자체라고 믿었습니다. 그 수학은 신의 일을 묘사 할뿐만 아니라 신이 일하는 방식이었습니다. 수학이 본질적인 진리를 가지고 있다는 믿음은 오늘날에도 수학자들에게 남아 있습니다. 그들은 수학이 신의 언어라고 믿습니다. 그리고 그것은 당신이 신을 믿지 않거나 존재의 과도한 원칙을 믿지 않는다면 문제가됩니다. 우리가 어쨌든 이해할 수있는 것은 없습니다. 개별 과학자들이 믿는 바에도 불구하고 과학은 무신론자이고 불가지론 자이다. 대부분의 수학자들은 신이 우주를 창조했다고 믿는 이교도들처럼 행동하지만 자연 법칙은 우주가 어떻게 작용 하는지를 결정합니다. 이것은 Epicurean (341-270 BC) 신이 우주의 일상적인 실행을 처리하기에는 바쁘다고 생각하지만 수학을 사용하여 운동을 설정합니다.
따라서 수학자들은 수학이 현실에서 발견되는 더 높은 질서라고 주장한다. 그러나 그러한 증거의 예는 없습니다. 수학자들은 그들이 발명가 라기보다는 발견 자라고 주장한다. 그러나 이분법 또한 거짓으로 보인다. 수학자들은 가장 자주 같은 시간에 두 가지를하는 것처럼 보입니다. 영국의 철학자 마이클 더메 트 (Michael Dummett)는 수학의 정리가 존재한다는 사실을 암시합니다. 그는 프로빙이라는 용어를 사용합니다 (Dummett, 1964). 체스 게임의 비유를 사용하면 "일반적으로 체스 게임은 추상적 인 존재입니다"(Dummett, 1973). 그러나 인간의 정신 활동이 아니라 게임이 존재하지 않을 것이라는 확실한 의미가 있습니다. 우리가 기쁘게하는 패턴이나 문화를 초월한 게임을 발견했기 때문에 그것이 기쁜 이유는 그 뒤에 신이 있기 때문이라고 믿는 것은 망상적인 것입니다. 그러나 수학자들은 이미 체스 나 정리가 우리 마음의 산물이 아니라고 주장한다. 그러나 도발적인 논증은 똑같이 사실입니다. 수학적 "진리"가 그것들을 생존시키기 위해 자극해야하기 때문에 우리는 전적으로 우리에게 의존합니다.
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언어, 예술, 음악 및 기타 "제 3 세계"구조에 대해서도 마찬가지입니다. 이는 점진적으로 진화하는 시스템이며 Karl Popper의 존재 론적 도구 중 하나입니다 (Carr, 1977). 제 3 세계는 개발 된 시스템이 창조자를 초월하여 존재하는 곳입니다. 제 3 세계에도 과학 이론, 이야기, 신화, 도구, 사회 제도 및 예술 작품과 같은 추상 객체가 포함되어 있지만 언어는 훌륭한 예입니다. 언어는 점진적이고 진화하며 현실을 전달하는 데 사용됩니다. 이 제 3 세계에서 언어뿐만 아니라 수학도 발견되거나 발명 된 것으로 주장됩니다.
언어 발달의 이론은 두 사상 학교 사이에서 진동했다. 언어가 문화에 묶여 있다고 주장하는 한 학교, Descriptivists로 알려져 있습니다. 그리고 다른 측면에서는 Generativists로 알려진 생물학적 구성의 일부로 언어를 조장하는 논쟁이 있습니다. Generomsivist로서 촘스키 (Chomsky, 1980 : p134)는 "우리는 실제로 언어를 배우지 않는다. 오히려 문법은 마음 속에서 자랍니다. " 공식 수학 시스템과 인간 언어 간의 유추는 새로운 것이 아니라 새로운 아이디어입니다. 사실 이러한 공식 언어 이론은 이미 인간 언어의 계산 기반을 체계적으로 조사하려는 시도로 노암 촘스키 (Noam Chomsky)에 의해 현대적 형태로 이미 확립되었지만 여러 영역 (예 : 컴퓨터 프로그램)의 다양한 규칙 적용 시스템에 적용 가능 해졌다. 음악, 시각적 패턴, 동물성 발성, RNA 구조 및 심지어 춤 (Fitch & Friederici, 2012). 이 공생 관계는 수학과 음악, 음악과 예술, 예술과 언어 및 모든 다른 순열과 같은 제 3 세계의 모든 구성물에 걸쳐 존재합니다. 수학과 마찬가지로 우리는 시간을 가지고 언어를 다듬습니다. 미래 세대는 언어와 수학을 바탕으로하고 있으며 유일한 제약은 우리의 심리학 인 것 같습니다. 수학은 이와 비슷하게 점증 적 특성을 가지고 있습니다. 수학에 관한 화법의 마지막 문장 "유일한 제약은 우리의 상상력과 우리가 적절하거나 기쁘게 생각하는 것"(Fine, 2012 : p27). 우리가 적절하고 기쁘게 생각하는 것은 심리학이 시작되는 곳과 수학의 시작과 우리의 심리학에 대한 설명에 대한 단서입니다.
지침으로, 우리는이 "즐거움"의 원리를 이해하기 위해 이전 (그리고보다 단순한) 수학으로 돌아 가야합니다. 피타고라스와 음악은 수학과 심리학 사이의 수렴을위한 기초입니다. 피타고라스 (기원전 6 세기)는 대장장이가 그의 모루를 때릴 때 망치의 무게에 따라 다른 음표가 만들어지는 것을 관찰했습니다. 그는 나중에 두 문자열의 길이의 비율이 옥타브를 결정한다는 것을 발견했다. "주요 음악 간격은 처음 네 정수 사이의 간단한 수학적 비율로 표현할 수있다"(Kirk & Raven, 1964 : p.229). 따라서 "옥타브 = 2 : 1, 5 = 3 : 2, 4 = 4 : 3"(p.230). 이러한 비율은 조화를 이루며 마음과 귀 모두를 기쁘게합니다. 이 수학적 시스템이 우리가 더 높은 단계로 나아가더라도, 5 옥타브의 비율을 조정하여 7 옥타브와 상응 할 수있는 솔루션이있었습니다. John Stillwell (2006)은 1584 년 Zhu Zaiyu (Chu Tsai-yü)가 "동등한 반음"또는 "평등 기질"(p.21)을 중국에서 거의 동시에 개발했다고 주장한다 (명나라 때와 1585 년 네덜란드의 Simon Steven (Ross, 2001). 그러나 요점은 우리 인간이 기쁘게하는 조화를 기반으로 수학적 규칙이 개발되었다는 점이다.
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자연적으로 모든 소리는 동일합니다. 신이 모든 것을 발명했다면, 불완전한 선, 불협화음 및 임의의 사건을 포함하여 모든 것이 완벽합니다. 우주의 창조자는 모든 음향을 창조했으며, 모든 소리는 완벽합니다. 자연은 모두 필요하고 유용하기 때문에 그들 사이를 차별 할 수 없습니다. 따라서, 하모닉스를 선택하는 것은 신이 아닌 심리적 인 것입니다. 우리는 각 소리를 심리적으로 구분할 수 있기 때문에 비늘이 분리되는 것을 좋아합니다. 우리는 질서와 일치 성을 지닌 생물이며 뚜렷하고 구별되는 소리를 선호합니다. 실제로는 고조파와 같은 것이 없기 때문에 우리는 인간으로 보았습니다. 즐겁기 때문에 인간이 수학으로 식별하는 정돈 된 방식으로 조직되어 있기 때문에 인식하기 쉽습니다.
그러한 심리학 적 선호는 자동적이며 우리 측에서 처리와 사고가 필요 없습니다. 이러한 자동화는 표면 상으로는 증가하거나 감소하지 않는 음색을 연주함으로써 쉽게 중단 될 수 있습니다. 이러한 톤은 Roger Shepard에 의해 개발되었으며 옥타브로 분리 된 사인파의 중첩으로 구성됩니다. 이것은 피치에서 계속 올라가거나 내려가는 음색의 청각 적 환영을 만듭니다.
Shepard Tone은 이해하기 어렵 기 때문에 불협화음을 만들뿐만 아니라 불협화음으로 인해 불안감을 유발하여 감정 불안을 유발합니다. 우리가 우리의 인식을 비둘기 할 수 없을 때 우리는 불편 해집니다. 우리는 지각을 더 쉽게하는 규정 된 거리에있는 소리가 필요합니다. 피타고라스는 청각 지각에 대한 최초의 수학적 규칙을 정의했으며, 이는 주문과 형식에 대한 우리의 심리를 기쁘게하는 옥타브의 정의입니다. 유럽과 중국이 동시에 이것을 알아 낸 사실은 옥타브에 대한 인식이 언어 적 차이와 청각 적 차이에 대해 일반화된다는 것을 나타냅니다 (청각 적 환영이 Deutsch, 2011 참조). 수학에 성문화 된 이러한 심리적 요구 사항은 시력에서도 마찬가지입니다.
우리는 "덩어리 (chunks)"로보기를 좋아합니다. 수학은 "1"이라는 숫자를 발명함으로써 이러한 심리적 필요를 반영하는 가장 초기의 학문이었습니다. "실체"에 대한이 기초는 수학의 거꾸로 된 피라미드를 형성합니다. "하나"가 없으면 수학은 없습니다. 그러나 1 위와 관련된 문제가 있습니다. "하나"를 수학적으로 정의 할 수 없거나 차별성과 같은 특정 방식을 준수하지 못하는 지점이 있습니다. 예를 들어 양자 물리학을 설명 할 때 수학자들에게 문제가되는 것으로 증명 된이 특이성은 수학자들에게 단지 하나의 문제입니다. 왜냐하면 "하나"의 실체가 자연이 아닌 우리의 마음을 완벽하게 창조하기 때문입니다. 사실 양자 물리학이 중첩, 얽힘 및 다른 양자 역학을 설명 할 수있는 유일한 방법은 정리에서 "하나"를 제거하는 것입니다. "하나"주변의 괄호를 제거함으로써 양자 물리학은 더 잘 설명 될 수 있습니다. 그렇지만 우리는 우리의 심리학과 분리 된 실체에 대한 우리의 인식에 의존해야만합니다. 심리학 적 관점에서 볼 때 양자 물리학이 심리학을 따르도록 강요하는 것보다 쉽게 달성 할 수 있습니다.
역사는 전에 여기에있었습니다. 피타고라스는 음악이 어떻게 만들어 졌는지 신의 손을 추적하여 7 개의 행성 각각이 지구 궤도에 따라 특별한 음을 만들어 낸다고 생각합니다. 이것은 뮤직 다 문다나 였고 피타고라스의 경우 다른 음악 모드는 듣는 사람에게 다른 효과를줍니다. 이걸 한 걸음 더 나아가면서, 수학자 Boethius (480-524 AD)는 영혼과 몸은 음악과 우주 자체를 지배하는 비율의 동일한 법칙의 적용을받는다고 설명했습니다. 움 브토 에코 (Eumberto Eco)가 관찰 한 것처럼, 우리는이 법칙을 준수 할 때 가장 행복하다. 왜냐하면 "우리는 유사성을 좋아하지만, 차이점을 싫어하고 분개한다"(Eco, 2002, p31).
수학자들이 신의 손에 손을 대 었다고 생각한 것은 이번이 처음이 아니며 마지막 시간도 아닙니다. 그러나 피타고라스가 만난 것은 우리의 심리입니다. 기쁘게하는 패턴, 유사점 및 질서에 초점을 맞춤으로써 수학자들은 우리 정신의 기초를 탐구하고 있습니다. 그리고 이렇게하기 위해서 그들은이 모든 생각들을 수학으로 해석되는 일관된 언어로 묶는 규칙과 "공통적 인 개념"을 만들어야했습니다. 예를 들어 Euclid (기원전 4 세기)의 The Elements :
• 똑같은 것은 서로 동일합니다.
• equals가 equals에 추가되면 wholes은 동일합니다.
• equals를 equals에서 빼면 나머지 값은 동일합니다.
• 서로 일치하는 것은 서로 동일합니다.
• 전체가 부분보다 큽니다.
고전 유클리드 수학과 게슈탈트 심리학과 명확한 관계가 있습니다. 게슈탈트 심리학은 이러한 유클리드 공통 관념을 반영하는 규칙을 가지고있다 (Lagopoulos & Boklund-Lagopoulou, 1992). 그러나 추가 개발이있었습니다. 다작의 스위스 심리학자 인 Jean Piaget (1896-1980)은 어린이의 우주 개념을 연구하면서 어린이의 우주 초기 개념에서 매우 추상적 인 수학적 구조를 발견했습니다. 그는 기하학적 공간의 발전이 아동의 생리 기능 발달 역량을 반영하는 것으로 이해되어서는 안되며 아동의 세계와의 상호 작용의 산물이라고 이해해야한다고 주장했다. 아이는 지속적으로 지각의 특정 구조를 구축하고 공간 개념을 재구성합니다. 따라서 유클리드의 요소와 형태의 위상 학적 성질은 세계와 과학의 역사가 아닌인지 체계를 바탕으로 우리가 일상적으로 사물과 상호 작용할 때 축적됩니다.
우리의인지 과정에 포함 된 수학적 구조가 있다는 것과 같은 이해는 수학적 또는 언어 적 필요성을 배제합니다. 이 정리는 뇌가 어떻게 구조화되어 있기 때문에 독립적으로 존재합니다. 이 사전 수학 및 사전 언어 능력의 좋은 예는 해당 언어로 숫자 개념이없는 부족이 제공합니다. 댄 에버렛 (Dan Everett)의 남부 아마존 대야의 피라 하 (Pirahã) 언어에 대한 설명은 수학적 구성과 우리의인지 능력 사이의 얽힌 관계를 보여줍니다 (Everett 2012). Pirahã 언어에는 문법적으로 모든 종류의 임베딩이없고, 한정어가 없습니다 (예 : 다수, 소수, 없음). (예 : 1, 2, 많음) 전혀 숫자가 없습니다. 그러나 그들은 여전히 언어 구조의 부족에도 불구하고 복잡한 수학적 비교를 종료하고 수행 할 수 있습니다. 주요한 적자는이 기능을 암기 할 수 없다는 것입니다. 그래서 그들은 즉각적인 상황에서만 수학적 기능을 수행 할 수 있습니다. Popperian 용어로 수학자가 수학 기호를 통해 표현할 수있는 추상적 인 표현을 유지할 수 있도록 수학의 제 3 세계 구조를 가지고 있지 않습니다. 수학자가이 언어를 만들었습니다.이 수학은 "하나"가 기초를 형성합니다.
그러나 수학은 "하나"라는 개념을 발전시키고 발전 시켰습니다. 수학은 여전히 규율로 서 있었다고 가정하는 것이 순진하지 않을 것입니다. '하나'의 초기 개념은 매우 제한적인 숫자이지만 '숫자'는 '자연수'를 의미하지만 수학은 '정수'를 의미하는 '하나'라는 덜 제한적인 개념을 채택하기 위해 진화했다. 그때 rationals 의미; 그리고 나서, 실수들, 그리고 실수들. 그러한 창작물들로 인해, "하나"에 대한 유한 한 해석에 대한 더 깊은 미묘한 인식이 있습니다. 심리학에서는 인간 (일명 사람)을 구별하고 가족, 지역 사회 또는 머리, 눈, 코 (실제)와 같은 종합적이거나 복합적인 특징에 대해 이야기 한 다음 백만 장자가되어 복소수가되어 이혼하고 잃을 수도 있습니다 수학은 숫자의 영역을 확장시키지 않았지만 우리가 '숫자'로 의미하는 것을 자유 선화하고 '하나'로 의미하는 것을 공선 성으로 자유화했습니다. 하나의 숫자 인 "하나"라는 가정 그리고 숫자 체계를 확장함에있어서, 이미 존재했던 숫자에 단순히 "함수"를 추가하고 수행하는 것은 수학이 아닌 것입니다. 숫자의 수만큼 "수"의 숫자가 있습니다. 그러나 의미를 재정의함으로써 "하나"라는 새로운 정의를 만듭니다. 조사와 연구에 대한 의심이 적고 실체와의 관계가 덜한 정의 (Fine, 2012). Gregory Chaitin은 알고리즘이나 정리로 축소 할 수없는 임의의 숫자 인 오메가 수를 발견했으며 Chaitin-Kolmogorov 역설은 수학의 오류 가능성을 지적했습니다. 우리의 현실의 복잡성을 설명 할 수있을만큼 포괄적 인 지식을 수집하는 유일한 인식론은 없습니다.
우리는 아직도 이해되지 않고 오해되고 계속 오해되는 매우 복잡한 방식으로 생각합니다. 인간의 두뇌는 우리가 우주에서 별을 가지고있는 것보다 더 많은 시냅스 전달을 가지고 있습니다. 인간의 사고 능력은 엄청납니다. 우리가 수학에서 정리의 전개를 비추는 매우 추상적 인 방식으로 생각할 수있는 단서가 생겨났습니다. 그러나 그 논리를 뒤집는 것이 더 정확할 것입니다. 홀로 지 (思考)의 이론은 이러한 사고의 세계를 나타내는 단지 하나의 조잡한 방법 일 뿐이다. 수학이 우리의 정신, 예술 및 행동을 이해하는 포털이 될 수 있다는 것은 그럴듯합니다. 우리는 우리의 한계와 속성을 배울 수 있고, 우리가 아직 모르고 알지 못하는 과정을 탐구 할 수 있습니다. 우리는 어른들의 생각을 계율로 발전시킵니다. 어떤 경우에는 우리의 언어가 그런 사고를 수용하지 못하지만 숫자와 패턴에 대한 우리의 감각을 개발하기 위해 여전히 타고난 수학을 사용합니다. 우리는 이것 또한 다양한 동물들에서도 볼 수 있습니다 (Beran, 2008). 수학은 종을 가로 지르는 우리의 사고 방식입니다. 화려한 수학자가되어 문화적 사고 (언어, 역할, 문화적 도덕)에 수렴하는 수학자와 마찬가지로 우리는 단순히 그로부터 성장합니다. 수학자는 자연적 사고 과정이 결국 실용적으로 이어지기 때문에 빛의 수명이 짧습니다. 우려. 그러한 것은 우리의 두뇌의 최종 목적, 실제 체험 세계에서의 생존입니다. 감각적 인 세계에서 생존 – 감정과 경험이 지배하는 세계. 그러나 수학은 사고 과정, 마음 감각 및 감정의 이론을 공식화하는 기초를 형성 할 수 있습니다. 우리는 학문 분야의 사일로 이상을보고 인류를 신의 손에 대항하는 것 이상으로 간주하고 신의 손이 인정 받기를 기다리는 우리 자신의 천재임을 단순히 볼 필요가 있습니다. 우리는 우주의 춤을보고 있으며, 춤을 추는 음악을 듣지 않습니다.
참고 문헌
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Stillwell J (2006). 불가능에 대한 갈망 : 수학의 놀라운 진리 AK Peters, Ltd.
나는 조지아 대학에서 수학에 대한 명예 교수 인 데이비드 에드워즈 (David Edwards)에게 저에게 감사드립니다. 그러한 지식 있고 도전적인 적을 갖는 것은이 논점에 대한 사고를 촉진시키고 훨씬 더 명료 한 논제를 만들어 냈습니다. 그러나 모든 허위 진술, 결함 및 부족은 전적으로 내 책임입니다.
이 블로그를 출판 한 후 Stanislas Dehaene의 Number Sense라는 책이 우리의인지 기계가 어떻게 수학적인지에 대해 논의하게되었습니다. 여기에 접근 할 수있는 precis가 있습니다 :
http://www.unicog.org/publications/Dehaene_PrecisNumberSense.pdf
© 미국 저작권 2015 Mario D. Garrett
